# Het gebruik van &kmplot;

&kmplot; kent diverse soorten functies, die in de vorm van een functie of als een vergelijking kunnen worden geschreven:

- Cartesische plots kunnen bijvoorbeeld als y = x^2 worden geschreven, waarin x moet worden gebruikt als de variabele, of als bijvoorbeeld f(a) = a^2, waarin de naam van de variabele willekeurig is.

- Bij parametrische plots gaat het net zo als bij cartesische. De x- en y-coördinaten kunnen worden ingevoerd als vergelijkingen van t, bijv. x = sin(t), y = cos(t), of als functies, bijv. f_x(s) = sin(s), f_y(s) = cos(s).

- Ook bij pooldiagrammen gaat het net zo als bij cartesische plots. Zij kunnen als een vergelijking worden ingevoerd in &thgr;, bijvoorbeeld r = &thgr;, of als eenfunctie, bijvoorbeeld f(x) = x.

- Bij impliciete plots wordt de naam van de functie apart ingevoerd van de expressie voor de relatie tussen de x- en y-coördinaten. Indien de x- en y- variabelen worden gegeven via de naam van de functie (door bijvoorbeeld f(a,b) in te voeren als de functienaam), dan worden de hierin genoemde variabelen (hier dus a en b) gebruikt. Anders worden voor de variabelen de letters x en y gebruikt.

- Bij expliciete plots van differentiaalvergelijkingen wordt de hoogste afgeleide uitgedrukt in termen van de lagere afgeleiden. Afgeleiden worden gekenmerkt met een of meer '-tekens. In de vorm van een functie is dit zoiets als f''(x) = f' − f. In de vorm van een vergelijking ziet het eruit als y'' = y' − y. Merk op dat in beide gevallen het (x)-gedeelte niet wordt toegevoegd aan de termen met de lagere afgeleiden (dus is de invoer als f'(x) = −f en niet als f'(x) = −f(x)).

U kunt alle invoervakken voor vergelijkingen verkrijgen met een knop rechts. Hierop klikken geeft de geavanceerde dialoog voor de Vergelijkingbewerker waarin u vindt:

- Een aantal wiskundige symbolen die u kunt gebruiken in vergelijkingen, maar die u niet zult aantreffen op normale toetsenborden.

- De lijst van constanten voor de gebruiker, en een knop om ze te kunnen bewerken.

- De lijst van voorgedefiniëerde functies. Merk op dat al u reeds geselecteerde tekst heeft, deze zal worden gebruikt als het functieargument als er een functie wordt ingevoegd. Bijvoorbeeld, indien 1 + x is geselecteerd in de vergelijking y = 1 + x, en daarna de sinusfunctie wordt gekozen,dan wordt de vergelijking y = sin(1+x).

U ziet hier een afbeelding van het welkomstscherm va &kmplot;
Schermafbeelding

## Functietypes

### Cartesische functies

U kunt als volgt een expliciete functie (dit is een functie in de vorm y=f(x)) in &kmplot; invoeren,:

    f(x) = expressie

waarin:

- f de naam is van de functie, die elke rij van tekens en cijfers kan zijn.

- x de x-coördinaat is, te gebruiken in de expressie rechts van het =-teken. Het is in feite een dummyvariabele, u kunt dus elke naam voor de variabele gebruiken die u wilt.

- expressie de expressie is die moet worden geplot, gegeven in de juiste syntax voor &kmplot;. Zie .

### Parametrische functies

In parametrische functies worden de x- en de y-coördinaten als afzonderlijke functies gedefinieerd van een andere variabele (parameter), vaak t (van: tijd) genoemd. Om in &kmplot; een parametrische functie in te voeren, volgt u dezelfde werkwijze vooor de beide x- en y-functies als voor een cartesische functie. Net als bij cartesische functies kunt u voor de parameter elke naam gebruiken die u wenst.

Als voorbeeld stellen we dat u een cirkel wilt tekenen, met de parametrische vergelijkingen x=sin(t) en y=cos(t). Na het aanmaken van een parametrische plot voert u deze vergelijkingen in in de juiste x- en y- invoervakken; dus als `f_x(t)=sin(t)` en `f_y(t)=cos(t)`.

U kunt in deze dialoog nog enkele andere opties voor de plot instellen:

Min
Max

  Met deze opties bepaalt u het interval voor de parameter t waarop de functie wordt geplot.

### Functies in poolcoördinaten

In poolcoördinaten wordt een punt gegeven door zijn afstand tot de oorsprong (meestal r genoemd), en de hoek die de lijn vanuit de oorsprong door het punt maakt met de (positieve) x-as (gewoonlijk met de Griekse letter theta (&thgr;)aangeduid). Om functies in poolcoördinaten in te voeren gebruikt u de knop Aanmaken, en kiest u Pooldiagram in de lijst. In het vak voor de functiedefinitie voert u die in, inclusief de naam voor de gewenste theta-variabele. Bijvoorbeeld, om de spiraal van Archimedes, r = &thgr;, te tekenen, voert u in

    r(&thgr;) = &thgr;

, zodat de inhoud van de hele regel is r(theta)=theta. Merk op dat u voor de theta-variabele elke naam die u wilt kunt gebruiken, zodat u met r(x)=x precies hetzelfde resultaat krijgt.

### Impliciete Functions

In een impliciete relatie wordt een vergelijking gegeven waarin x en y op een gelijkwaardige manier voorkomen. Om een cirkel te maken bijvoorbeeld, maakt u een nieuwe impliciete plot aan met de knop Aanmaken, en kiest u in de lijst Impliciete Plot. Daarna voert u de volgende vergelijking in in het invoervak hiervoor (onder dat voor de functienaam):

    x^2 + y^2 = 25

### Differentiële functies

In &kmplot; kunnen expliciete differentiële functies worden geplot. Dit zijn functies met de vorm y(n) = F(x,y',y'',...,y(n−1)), waarin yk de k-de afgeleide is van y(x). &kmplot; kan alleen de orde van de afgeleide functie bepalen aan de hand van het aantal '-tekens achter de naam van de functie. Voor het tekenen van een sinuskromme, bijvoorbeeld, kunt u de differentiaalvergelijking y'' = − y gebruiken (Uitleg: y=sin(x) -> y'=cos(x) -> y''=−sin(x)=−y).

Maar een differentiaalvergelijking is op zichzelf niet voldoende voor het tekenen van een plot. Elke kromme in de plot wordt gegenereerd door een combinatie van de differentiaalvergelijking en de randvoorwaarden. U kunt de randvoorwaarden bewerken in het tabblad Randvoorwaarden wanneer u een differentiaalvergelijking selecteert. Het aantal kolommen dat beschikbaar is voor het bewerken van de randvoorwaarden is afhankelijk van de orde van de differentiaalvergelijking.

U kunt in deze dialoog nog enkele andere opties voor de plot instellen:

Stap

  De stapwaarde in het vak nauwkeurigheid wordt gebruikt bij het numeriek oplossen van de differentiaalvergelijking (met de Runge Kutta methode). Het is de waarde van de grootste stap die wordt gebruikt; een kleinere stap kan worden gebruikt indien er voldoende op een gedeelte van de plot van de differentiaalvergelijking wordt ingezoomd.

## Het combineren van functies

Functies kunnen worden gecombineerd tot nieuwe functies. Voer gewoon de functies na het =-teken in in een expressie alsof de functies gewone variabelen zijn. Bijvoorbeeld, als u de functies f(x) en g(x) heeft gedefinieerd, kunt u de som van f en g plotten met:

    sum(x) = f(x) + g(x)

## Het veranderen van het uiterlijk van de grafieken van functies

Om het uiterlijk van een grafiek van een functie in het hoofdplotscherm te wijzigen, selecteert u de functie in de zijbalk Functies. U kunt de lijndikte veranderen, de kleur en vele andere eigenschappen, door op de knop Kleur te klikken, of op Gevorderd... onder in de sectie Uiterlijk.

Als u een cartesische functie bewerkt, heeft de functiebewerker drie tabbladen. In het eerste kunt u de vergelijking opgeven van de functie. In het tabblad Afgeleiden kunt u opgeven dat de eerste en tweede afgeleide functies worden getekend. In het tabblad Integraal kunt u de integraal laten tekenen van de functie.

## Contextmenu

Contextmenu na rechtsklikken op een grafiek
Contextmenu na rechtsklikken op een grafiek

Als u rechtsklikt op de grafiek van een functie of van een parametrische plot van een punt (vert.: ?) verschijnt er een contextmenu. Hierin zijn drie onderwerpen beschikbaar:

Bewerken

  Selecteert de te bewerken functie in de zijbalk Functies.

Verbergen

  Verbergt de geselecteerde grafiek. De andere grafieken van de functie blijven gewoon zichtbaar.

Verwijderen

  Verwijdert de functie. Alle grafieken die erbij horen worden gewist.

Plot animeren...

  Toont de dialoog voor de Parameter animatie.

Rekenmachine

  Opent de dialoog voor de Rekenmachine.

Afhankelijk van het type plot zijn er ook tot vier hulpmiddelen beschikbaar:

Plotgebied...

  Selecteer in de nu zichtbare dialoog de uiterste x-waarden voor de grafiek. Berekent de integraal en tekent de oppervlakte tussen de grafiek en de x-as tussen beide x-waarden, in de kleur van de grafiek.

Minimum bepalen...

  Bepaal het minimum van de functie binnen een bepaald interval. De geselecteerde grafiek wordt gemarkeerd in de dialoog die verschijnt. Vul de onder- en bovengrens in van het interval waarbinnen u het minimum wilt vinden.

  Let op: u kunt ook de uiterste waarden visueel in de plot laten tonen met behulp van de dialoog Plotuiterlijk, dat u verkrijgt via de knop Gevorderd... in de zijbalk Functies.

Maximum bepalen...

  Dit is hetzelfde als Minimum bepalen... hier boven, maar nu wordt het maximum in plaats van het minimum bepaald.